Fassregel von Johannes Kepler

Kepler kaufte für seine Hochzeit einige Fässer voll Wein und wollte dabei den genauen Inhalt der Weinfässer herausfinden. Er überlegte sich mithilfe der Boden- und Deckelflächen (q1 und q3) sowie der kreisförmigen Querschnittsfläche durch das Spundloch (q2) eine geeignete Formel zur Berechnung des Fassvolumens:

 

V=\frac{1}{6}\cdot h\cdot\left(q_1+4q_2+q_3\right)

 

Seine Überlegungen zur Volumenberechnung lassen sich auf die Berechnung von Flächeninhalten unter verschiedenen Graphen erweitern. Dafür sind drei Punkte auf dem Graphen notwendig:

 

A\left(a,y_a\right)B\left(b,y_b\right)C\left(\frac{a+b}{2},y_m\right)

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts lautet dann

 

F=\frac{1}{6}\cdot\left(b-a\right)\cdot\left(y_a+4y_m+y_b\right)

fassregel_bild.png

 

und entspricht dem Integral mit unterer Grenze a und oberer Grenze b über eine beliebige Funktion.

 

Faszinierend an Keplers Regel ist, dass sie vor der heutigen Integralrechnung entstand und für ganzrationale Randfunktionen bis zum Grad drei exakte Ergebnisse liefert.